從國小開始我們數學課上就開始學習幾何圖形面積的算法,而數學有趣的地方就是,可以透過不同思維去算出答案,就以三角形面積公式來說,我們可以輕鬆背出「底 × 高 ÷ 2」,但如果今天沒有了 高,我們該如何去算出三角形的面積呢?所以今天我們要和大家介紹 7 個三角形面積公式,帶大家體驗數學的奧秘。
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![三角形面積算法有幾種?](https://blog.amazingtalker.com/wp-content/uploads/2023/02/三角形-1024x1024.jpg)
首先,先來幫大家統整各階段我們會學到的 7 個三角形面積公式,但比起死記這些公式,不如去理解它形成的原因,以後遇到不同的題目也可以更容易想到解法。因此在下方我們也有和大家詳細介紹這些公式的原理。
- 國小 – 基本公式:底 × 高 ÷ 2
- 國中 – 海龍公式:√s (s-a)(s-b)(s-c)
- 國中 – 內切圓公式:r x s
- 國中 – 外切圓公式:abc ÷ 4R
- 高中 – 正弦法:1/2 ab sinθ
- 高中 – 向量法:1/2 |ā| |b| sinθ
- 高中 – 行列式:
![三角形面積公式](https://blog.amazingtalker.com/wp-content/uploads/2023/02/三點向量.png)
國小三角形面積公式
基本公式:底 × 高 ÷ 2
「底 × 高 ÷ 2」是我們最早接觸到的三角形面積公式,是下面我們要介紹的其他面積公式算法的基礎,只要把三角形的任意一邊當成底,在找出對應的高,就可以算出三角形的面積公式了。
![國小三角形面積公式](https://blog.amazingtalker.com/wp-content/uploads/2023/02/三角形面積.png)
國中三角形面積公式
海龍公式:√s (s-a)(s-b)(s-c)
海龍公式是在我們沒有三角形的高,只有三角形的邊長時可以使用的三角形面積公式。
公式中的 a、b、c 是用來代稱三角形的三邊長;而 s 則是三角形周長的一半,也就是 (a+b+c)÷2。
內切圓公式:r x s
三角形的內切圓是指一個圓在三角形的內部,並且同時和三邊長相切,而這個圓的圓心就是我們所稱的內心,而圓的半徑就是我們公式中所會用到的 “ r ”。
我們只要把圓心和三角形的三個頂點相連,分成三個三角形,運用 底 x 高 ÷ 2 的面積公式,以邊長為底, r 為高,再把三個三角形面積相加就可以算出三角形的面積了。
於是面積 = (a x r ÷ 2) + (b x r ÷ 2) + (c x r ÷ 2),簡化之後就變成 (a+b+c)÷ 2 x r,而(a+b+c)÷2就是剛剛所說的三角形周長的一半 “s”,更簡化之後就變成了 r x s。
![內切圓公式:r x s](https://blog.amazingtalker.com/wp-content/uploads/2023/02/內切.png)
外接圓公式:abc / 4R
三角形的外接圓是指三角形的三個頂點都在圓上,這個圓的圓心我們會稱為外心,而圓半徑則是我們公式中會用到的 “R”。
三角形面積公式是以我們未來在三角函數中會學到的面積算法「1/2 ab x sinC」為基礎,再延伸到國中所學的正弦定理:a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R,所以我們可以知道 sinC = c / 2R。
接著再把 sinC的值帶入面積公式「1/2 ab x sinC」當中,就可以得到公式 abc / 4R。
![外接圓公式:abc / 4R](https://blog.amazingtalker.com/wp-content/uploads/2023/02/外接.png)
高中三角形面積公式
正弦法:1/2 ab sinθ
高中階段我們開始學到三角函數,如果我們在算面積時不太知道高的長度,這時我們就可以用三角函數來幫助我們計算,而這時我們會需要用到的就是三角形的其中兩邊,還有兩邊的夾角θ。
我們把底邊設成 a,並且畫出對應的高 h,就可以根據高把原本的三角形再分割成兩個三角形,再根據三角函數的定理 h = b sinθ,最終套用到底×高÷2的公式裡,簡化出的三角形面積公式就是 1/2 ab sinθ。
![正弦法:1/2 ab sinθ](https://blog.amazingtalker.com/wp-content/uploads/2023/02/三角函數.png)
向量法:1/2 |ā| |b| sinθ
就如同上面正弦法所說的 1/2 ab sinθ,向量法其實也是一樣的概念,只不過是將兩邊長換成向量a和向量 b。 但需要特別注意的是 ā・b = |ā| |b| cosθ。
經過簡化之後,三角形面積公式就會變成: 1/2 |ā| |b| sinθ = 1/2√|ā|² |b|² sin²θ = 1/2√|ā|² |b|² (1-cos²θ) = 1/2√|ā|² |b|² – (ab cosθ)² = 1/2√|ā|² |b|² – (ā・b)²
行列式:
行列式算法其實是延伸自上面提到的向量法,但首先我們需要先把向量ā定為 (a₁, a₂);向量b定為(b₁, b₂),接著在套入向量法的公式當中: = 1/2√(a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²) – (a₁b₁ +a₂b₂)²,在經過約分 = 1/2 √(a₁b₂+a₂b₁)² = 1/2 |a₁b₂+a₂b₁|
最後用行列式就會變成:
![行列式](https://blog.amazingtalker.com/wp-content/uploads/2023/02/向量行列.png)
如果知道了三角形的三點座標 A (a₁, a₂);B(b₁, b₂);C(c₁, c₂),我們也可以使用上面行列式的方法:向量ā = (a₁ – c₁, a₂ – c₂);向量b = (b₁ – c₁, b₂ – c₂)。根據行列式的性質 -「行列的 k 倍加到另一行列當中,行列式的值不變」,就可以知道三角形的面積可以用下圖表示:
![三角形面積公式](https://blog.amazingtalker.com/wp-content/uploads/2023/02/三點向量-1.png)
總結
總合以上,今天和大家介紹了從國小到高中我們會逐漸學到的 7 個三角形面積公式,除了希望大家在碰上類似題目時可以輕鬆完成,也希望大家可以了解數學的無窮奧妙。
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