112學測三角函數考前精華｜sin、cos、tan常見定理與公式一次看

108課綱除了把學測的數學科切分為數A與數B以外，就連指考的數甲和數乙科目都有了些微的變動，但不變的是數學還是好難！尤其是三角函數，對多數的考生來說簡直就是地獄級的數學大魔王，下面我們幫大家彙整了高中數學中的三角函數內容，除此之外還有考試時需要用到的三角函數公式，幫助大家一起通關數學地獄。

三角函數定義

三角函數是在數學中，用來表示三角形上邊長與邊長之間的關係的函數，其中在考題中最常看到的名詞有三個「sin 正弦」、「cos餘弦」、以及「tan正切」，以及在數A比較會接觸到的「cot 餘切」、「sec正割」「csc餘割」。

如下圖的三角形所示，此直角三角形的其中一個對角為θ，其對邊、鄰邊、斜邊的長度分別為a ,b, h：

認識弧度與角度的關係

以前我們學過的，是將圓周分為 360 等份， 也就是 360°，用「度」來當作測量角大小的單位，在這個單元，我們會將角度作為三角函數的運算變數。除此之外，還有一種常用的單位：「弧度」。

弧度量的意思是在半徑 r 的圓周上截取與半徑等長的弧AB ，則弧AB 所對應的圓心角大小，稱為 1 弧度。通常弧度單位可以省略不寫，記為 1 弧度=1。 360°=2π，180°=π ，90°=π/2 。

三角函數的關係

從上面的介紹中，我們可以發現其實這6個三角函數之間的關係是環環相扣的，首先我們可以從中看出倒數關係以及商數關係：

倒數關係：sin / csc、cos/sec、tan/cot

• sinθ x cscθ = 1
• cosθ x secθ = 1
• tanθ x cotθ = 1

商數關係

• tanθ = sinθ / cosθ
• cotθ = cosθ / sinθ

我們還可以透過畢氏定理，來求出三角函數之間的平方關係。

平方關係

• sin²θ + cos²θ = 1
• sec²θ – tan²θ = 1
• csc²θ – cot²θ = 1

除此之外還有餘角、負角以及補角的關係，在記憶的時候要特別注意正負號之間的變化喔！三角函數角度的變化方式可以根據象限來判斷：

象限	角度變化
第二象限	180°-θ 或 90°+θ
第三象限	180°+θ 或 270°-θ
第四象限	360°-θ 或 270°+θ

• 當角度為 180°±θ 或 360°±θ 時，函數不需轉換
• 當角度為 90°±θ 或 270°±θ時，則函數需轉換

餘角關係

象限	公式	記憶方式
第一象限	sin (90°-θ) = cosθ cos (90°-θ) = sinθ tan (90°-θ) = cotθ	全＋
第二象限	sin (90°+θ) = cosθ cos (90°+θ) = -sinθ tan (90°+θ) = -cotθ	只有cos為＋
第三象限	sin (270°-θ) = -cosθ cos (270°-θ) = -sinθ tan (270°-θ) = cotθ	只有cot為＋
第四象限	sin (270°+θ) = -cosθ cos (270°+θ) = sinθ tan (270°+θ) = -cotθ	只有sin為＋

補角關係

象限	公式	記憶方式
第一象限	sin (360°+θ) = sinθ cos (360°+θ) = cosθ tan (360°+θ) = tanθ	全＋
第二象限	sin (180°-θ) = sinθ cos (180°-θ) = -cosθ tan (180°-θ) = -tanθ	只有sin為＋
第三象限	sin (180°+θ) = -sinθ cos (180°+θ) = -cosθ tan (180°+θ) = tanθ	只有tan為＋
第四象限	sin (360°-θ) = -sinθ cos (360°-θ) = cosθ tan (360°-θ) = -tanθ	只有cos為＋

負角關係

-θ	2π-θ	2π+θ
sin(-θ) = -sinθ	sin(2π-θ) = -sinθ	sin(2π+θ) = sinθ
cos(-θ) = cosθ	cos(2π-θ) = cosθ	cos(2π+θ) = cosθ
tan(-θ) = -tanθ	tan(2π-θ) = -tanθ	tan(2π+θ) = tanθ

三角函數的大小關係

我們在看考題時，也會時常看到三角函數之間大小比較的關係，以我們最常碰到的 sin, cos, tan 來說，如果 θ 的角度越大，sinθ 和 tanθ 就會越大，但是cosθ會越小。

• 在 θ 的角度介於 0°~ 45° 時，sinθ 的值會小於 cosθ；
• 當 θ 的角度介於 45°~90°，sinθ 的值會大於 cosθ；
• 如果 θ 的角度剛好在45°，那麼 sinθ 和 cosθ 的值就會剛好相等。

三角函數常見定理

正弦定理

「正弦定理」是指在任意一個平面三角形中，各邊和它對角的正弦值的比相等且等於外接圓半徑的2倍，也就是以下的公式：

• a /sinA = b /sinB = c /sinC = 2R (外接圓半徑)

餘弦定理

「餘弦定理」可以藉此求出三角形其他的邊長或夾角，其公式為：

• a² = b² + c² – 2bc x cosA b² = a² + c² – 2ca x cosB c² = a² + b² – 2ab x cosC

除此之外，我們也可以利用邊長的平方來判斷三角形的形狀(如最長邊為a)

1. a² = b² + c² → 直角三角形
2. a² > b² + c² → 鈍角三角形
3. a² < b² + c² → 銳角三角形

正弦定理以及餘弦定理是我們在學到三角函數時最常碰到、也是必須要理解的定理，如果還想要了解更多有關於新課綱三角函數的細節，可以觀看下面的影片：

三角函數的常見公式介紹

接著我們要來介紹在三角函數中常見的公式，只要將這些常見的公式好好的消化、搞懂，之後的考試中所碰到的大部分的題目都可以迎刃而解。

三角函數常見公式名稱	公式
和角公式	sin (α+β) = sinα x cosβ + cosα x sinβ cos (α+β) = cosα x cosβ – sinα x sinβ tan (α+β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα x tanβ)
差角公式	sin (α-β) = sinα x cosβ – cosα x sinβ cos (α-β) = cosα x cosβ + sinα x sinβ tan (α-β) = (tanα – tanβ) / (1 + tanα x tanβ)
兩倍角公式	sin2θ = 2 x sinθ x cosθ cos2θ = cos²θ – sin²θ = 2cos²θ -1 = 1 – 2sin²θ tan2θ = 2tanθ / (1 – tan²θ)
三倍角公式	sin3θ = 3sinθ – 4sin³ θ cos3θ = 4cos³ θ – 3cosθ
海龍公式	s = 周長/2 ＝(a+b+c)/2 △面積 ＝ √s x (s-a) x (s-b) x (s-c) 內切圓半徑r = △面積 / s 外切圓半徑R = abc / △面積 x 4

海龍公式

海龍公式是求三角形面積的公式，在邊長都是整數的時候比較好用，可以很快地就算出三角形的公式或是內切圓、外切圓半徑。設三邊長為a, b, c：

s = 周長/2 ＝(a+b+c)/2

△面積 ＝ √s x (s-a) x (s-b) x (s-c)

內切圓半徑r = △面積 / s

外切圓半徑R = abc / △面積 x 4

三角函數在數A與數B的差異

接著來介紹新課綱之後，三角函數在數A和數B考試中的差異。

數A	數B
弧度量 sin, cos, tan 函數圖形 定義域、值域 週期性、週期現象數學模型 正餘弦函數的疊合 週期現象數學模型 (cot, sec, csc 定義與圖形）	弧度量 sin 函數圖形 週期性數學模型 週期性現象 (較強調

相較起來數A比數B多了和插角公式以及正餘弦函數的疊合，前者是用公式把三角函數做四則運算；而疊合是利用三角函數中的和角公式求極值的方法。而數B相較於數A來說，更多講述 sin 函數圖形還有規律性的運用，此外也會更著重在生活中常見的週期性現象，像是聲波圖形、示波器等。

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111學測三角函數考點整理

1. 請問有多少個實數x滿足 sin2x + cos2x = 1/2 + sinx，且 0 ≤ x ≤ 2π
(1) 1個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 5個

(111試辦 數A)

2. 在△ABC中，已知AB =2，AC =3，且BC =a。試選出正確的選項。（多選）
(1) a > 1
(2) 若△ABC為鈍角三角形，則 a > √13
(3) 可以找到一個a，使得 ∠B < ∠A < ∠C
(4) 可以找到一個 a ，使得 △ABC 的外接圓半徑為 √2
(5) 可以找到一個 a ，使得 △ABC 的外接圓半徑為 2021

(111試辦 數A)

3. 已知標準位置角 θ 滿足 sinθ < cosθ 以及 sinθ cosθ < 0，試選出 θ 所在的位置。
(1)第一象限 (2)第二象限 (3)第三象限 (4)第四象限 (5)位於座標軸上

(111試辦 數B)

4. 已知△ABC為銳角三角形，邊長BC = a 滿足 sinA = 2asinB，又其外接圓半徑為√3/6，是選出∠B的度數。
(1) 15度 (2) 30度 (3) 45度 (4) 60度 (5) 75度

(111試辦 數B)

5. 坐標平面上，△ABC三頂點的座標分別為 A(0,2), B(1,0), C(4,1)，試選出正確的選項。
(1) △ABC的三邊中，AC最長
(2) sinA < sinC
(3) △ABC為銳角三角形
(4) sinB = 7√2 / 10
(5) △ABC的外接圓半徑比2小 (111學測 數A)

總結

這篇文章幫各位考生整理了高中數學中會提及的三角函數內容以及相關公式，希望這篇文章能夠幫助到也正在數學路上努力的各位考生，在考前多多練習相關題目，考試中就能靈活運用這些知識，發會自己完整的實力，最後祝各位在考試中都能取得佳績、金榜題名。

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