帶你秒解二元一次聯立方程式，認識代入+加減消去法！

升上國中之後，孩子們會遇到很多不一樣的新考驗，除了人際關係以外，課業也是孩子們要面臨到的考驗之一。而「二元一次聯立方程式」，就是在數學課當中一定會碰到的單元。二元一次聯立方程式可以解決很多日常生活中會碰到的問題，比方說數量問題：買五支筆和三個橡皮擦要75元；買十隻筆和五個橡皮擦要135元，我們可以很輕鬆的就算出筆和橡皮擦的價錢。

除了數量問題以外，二元一次聯立方程式還可以解決像是天秤、距離、分組等問題，非常的實用，所以為了讓國中生可以更容易地學會二元一次聯立方程式，下面我們將會他們定義、解法、如何應用、以及最重要的學習資源！

二元一次聯立方程式

定義

在解決數學問題的時候，根據題目的要求，列出相關的代數式來做運算，而且代數式裡面會含有2種文字符號（二元），次數為1次（一次），所以就成為二元一次方程式。

而二元一次聯立方程式，就是將2個二元一次方程式並列，來表達題目裡面的數量關係；如果能夠同時讓2個二元一次方程式成立的話，就是這兩個方程式的一組共同解。

範例

重要名詞解釋

• 二元一次方程式：兩個文字符號或未知數所組成的等式，較常見的未知數為x, y。 Ex. 3x+2y=5
• 聯立：代表2者之間有交集、關聯，就稱為聯立。也就是說二元一次聯立方程式之間有共同的解。
• 共同解：把未知數的特定值代入所有的式子裡面，都可以符合所有的式子，就稱為有共同解。

二元一次聯立方程式—解法

代入消去法

把二元一次方程中其中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示，再代入另一個方程，這樣就剩下一個未知數，就可以求得這個二元一次方程組的解。這種方法就叫做代入消去法。

二元一次聯立方程式題目範例

操作步驟

步驟一：幫兩式標記號碼 如上圖，幫兩個方程式標記了(1)以及(2)。

步驟二：把其中的某一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來。 Ex. 在範例中，我們可以得知「y=-4x」，而「2y=-8x」

步驟三：代入，取得第一個未知數的解 Ex. 將「y=-4x」代入「3x+2y=5」中，所以會得出「3x+(-8x)=5」，進而得知 x=-1

步驟四：代回，取得第二個未知數的解 把「x=-1」代回去任一式子當中，可以求出 y=4，最終答案就為「x=-1, y=4」

你學會了嗎？試試看用代入消去法解二元一次方程式題目：

既然知道代入消去法的步驟了，那就來實際計算看看吧！

更多二元一次方程式題目練習資源：

• 國中數學基本學習內容補救教材
• 二元一次聯立方程式 – 小魔流

補充影片

加減消去法

利用把式子相加或者是相減，或者是利用先乘除後加減的方式，把2個方程式x或y其中一個未知數消掉，進而求得整個方程式的解，就被稱之為加減消去法。

範例

操作步驟

步驟一：為兩式標記號碼 如上圖，幫兩個方程式標記了 (1) 以及 (2) 。

步驟二：將原式子乘上倍數，並且為新式子重新列出標號 Ex. 將 (1) 乘上3；再將 (2) 乘上2可以得出新的聯立方程式，再幫兩個方程式標記出 (3) 以及 (4) 。 → 6x – 9y = 54 …….(3) →-6x – 8y = 14 …….(4)

步驟三：兩式相加或相減，取得第一未知數 Ex. 把 (3) 以及 (4) 相加，就可以得到方程式「-17y = 68」，這樣就剩下y一個未知數，進而得知「y = -4」

步驟四：代回，取得第二未知數解 Ex. 之後再將「y = -4」代回去任一式子，就可以得出「x = 3」，最終答案就是「x = 3；y = -4」

你學會了嗎？試試看用加減消去法解二元一次方程式題目：

既然知道加減消去法的步驟了，那就來實際計算看看吧！

更多二元一次方程式題目練習資源：

• 二元一次聯立方程式-應用問題

補充影片

兩種消去法的差別

知道了代入消去法和加減消去法這兩種消去法之後，那應該如何使用呢？我們可以透過觀察之後，來選擇該用哪一種消去法。

首先我們在觀察題型的時候，如果可以很明顯的觀察到 x = ? 或者 y = ? 時，那就可以使用代入消去法來解決這個題型；而如果兩個方程式的未知數的係數，是相同數字或相反數，這個時候使用加減消去法會比較好。除此之外，如果係數不為1且係數不大時，也是使用加減消去法的好時機！係數太大的話就得嘗試其他的做法會比較恰當。

代入消去法	加減消去法
📍可以清楚地知道 x = ? 或 y = ? 📍未知數的係數為1時，較推薦使用	📍兩個方程式的係數，是相同數字或相反數 📍係數不為1，且數字不大

如何判斷要用哪種方法？二元一次聯立方程式解題技巧

免費學習資源

學習了二元一次方程式常常會用到的代入消去法以及加減消去法後，同學們可以試著在網路上找尋一些試題，這樣可以更了解考試時可能會出的題型，下面我們搜集了5個免費的學習資源平台，可供同學複習、練習題目：

均一教育平台

「均一教育平台」創立於2012年，希望透過科技，來幫助老師、家長能夠因材施教，讓孩子能夠養成自學的好習慣。在平台使用介面上非常的簡潔，很容易上手，而且課程從國小到大學先修一應俱全。觀看內容時可以透過選擇年級、學校教科書出版社，再到單元來查詢，非常簡單。

單元內容含有影片、以及練習題，可以讓孩子透過影片理解單元內容，再透過練習題來實作，更熟悉單元的概念。至今均一教育平台已經提供了超過29000部影片及68000道練習題，非常適合孩子課前預習或課後複習。

因財網

「因材網」是教育部的線上學習資源整合平台，裡面有從國小到高中全科目的學習資源，甚至連高職、各原住民族的學習資源都有。學習資源是由各個出版社提供或是因材網自己設計的教材，但因為教材是從各個地方聚集來的，所以在各個單元的豐富程度會不一樣。

PaGamO

「PaGamO」是全球第一的線上遊戲學習平台，可以在遊戲透過問答、競賽、合作等方式，讓孩子在遊戲當中學習到所需的知識。課程從國小到高中，也含有各出版社所提供的教材。

達學堂

「達學堂」是高雄市政府教育局打造的線上直播教學平台，內容從國小到高中皆有。是以影音直播、大數據分析以及遊戲學習為基本核心理念，希望可以打造線上學習資源分享、主題頻道直播互動、學習成效分析、以及遊戲中學習的線上教學平台。

CIRN國民中小學課程與教學資源整合平台

「CIRN國民中小學課程與教學資源整合平台」可以根據載具的不同，把畫面調整到最佳的瀏覽狀態，所以不論是在平板、電腦、手機上，使用上都非常方便。在主頁面可以根據「教學」、「閱讀」、「學習扶助」等11個面向，來連接到各自的連結網頁上，學生、老師、家長都可以根據自己的需求去選擇連結。

進階學習資源

如果在看完影片複習後還有不懂的地方，記得要去詢問老師，或是去找補習班來解決自己的疑問，下面也有提供4個線上的學習平台，可以讓同學去思考、找到最適合自己的補習：

Snapask

「Snapask」被外媒譽為是家教版的Uber，只要把拍下的題目上傳，無論何時何地都可以幫你配對到線上一對一的家教，解決當下的問題。除此之外也有提供全科的線上課程，課程形式較像是在家版的補習班，會有固定的課表，學生可以依照課程的時間加入直播課程，在課程結束後的45天裡面也可以無限次數觀看。

適合：國中、高中

你可以會想知道 → 隨時讓你問到懂！Snapask線上解題評價、特色

AmazingTalker

「AmazingTalker」在2016年創立，是多科目的線上家教平台，至今已經服務過超過100萬位的學生。裡面的師資皆是來自學校、補習班名師，價碼也都是公開透明的呈現在平台上，學生可以以「一堂課」為單位來購買課程。沒有固定的官方素材，只要是想學習的內容，都可以與老師討論，做客製化的教材。

適合：各式年齡、程度(包含：國小、國中、高中、大學）

翰林雲端學院

「翰林雲端學院」是由知名的翰林出版社成立的線上學習平台，裡面會有很豐富的課程還有大量的評量可以練習，除此之外還有學習通知功能，可以讓家長更輕鬆地掌握孩子現在的學習狀。費用的話是以一學期來計算，國中階段約為2500元左右，多科目一起購買也會享有折扣，比較適合想一次補多科目的孩子。

適合：國小、國中、高中

學習銀行 Study Bank

「學習銀行」提供即時課輔的功能，在他們的課輔時間內，只要孩子在學習時有任何的問題，都可以和課輔老師發問，立馬得到解答。除此之外，他們還可以直接在影片中做筆記，更方便孩子學習，在頁面也會有進度條，可以追蹤孩子的學習進度。

適合：國中、高中

小叮嚀：購買後還是會有觀看時間限制的喔，記得要在時限內看完

總結

總合以上，肘理出了在二元一次聯立方程式常會用到的加減消去法以及代入消去法，還有題目可以小試身手，希望可以讓各位同學對二元一次方程式更加的瞭解。

在考試之前，也記得到上面提及的學習資源去練習，更熟悉考試可能會出的題型。如果覺得還有不懂的地方，也可以到上面提到的線上學習平台去補習、請教老師。在考前好好的複習二元一次方程式的重點、練習題目，相信各位同學都能在數學科目考取好成績。

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