從國中升上高中，學習的難度都會再上升，尤其是數學，在高一時就會碰到令許多學生聞風喪膽的「排列組合」，有許多學生就是因為在學習排列組合這個單元上遇到挫折，進而喪失對數學的興趣，開始畏懼數學。所以下面我們幫大家整理了排列組合的必考重點，此外也會幫大家解析常考的經典題型，讓你在考前快速掌握重點，不再畏懼數學。
內容目錄
認識排列組合的基本原理與概念
在進入排列組合的概念解說前，先來認識一些基本原理，幫助你建立一些良好的觀念：
排列組合觀念一、取捨原理
取捨原理，又叫做排容原理，是在排列組合這個單元中十分重要的一個概念，可以找出各個集合當中的聯集，最常考、必備的為兩個集合和三個集合的取捨原理。
＊名詞須知：
- ∪ 聯集：聯集是集合中所有元素的加總。如果A和B是集合，那A和B的聯集就是所有A元素和所有B元素的加總。
- ∩ 交集：交集是兩個或兩個以上的集合中共同元素所成的集合。如果A和B是集合，那A和B的交集就是同時屬於A又同時屬於B的元素。
兩個集合的取捨原理
n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B)
三個集合的取捨原理
n (A ∪ B ∪ C) = n(A)+ n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
排列組合觀念二、窮舉法
窮舉法是把所有符合條件的例子全部列舉出來計數。適合用在符合條件的例子較少的時候，在做窮舉法時，可以按照順序有系統地排列，這樣才可以避免少列或者重複。例如一個3位數字的密碼，編號從000到999，利用窮舉法就是從000開始逐個測試密碼是否正確，只要時間足夠就一定會找到正確答案。
排列組合觀念三、加法原理
加法原理的重點在於「分類」，把要計數的集合分成各類別，且類別不重複，然後再相加即可。
n( A ∪ B) = n (A) + n (B)
排列組合觀念四、乘法原理
乘法原理是把要計數的集合分類成一連串單線的步驟，把各個步驟數算出之後再相乘即可。
n (A X B) = n (A) X n (B)
E.g.
A = { 1, 2, 3, 4, 5}，B = {ㄅ, ㄆ, ㄇ, ㄈ}
n (A X B) ＝5 X 4 = 20
排列組合觀念 – 考前重點整理
接下來，我們也擷取了最精華的考點：排列（P）、組合（C）、重複排列（nr）、重複組合（H），希望能在考前幫助你快速瀏覽一次重點：
排列組合觀念五、排列（P）
排列 (P) 是指從 n 個元素當中取出 k 個排成一列的方法數，其中 0 ≤ k ≤ n。
P n 取 k = n! / (n-k)! = n (n-1) (n-2) ⋯ (n–k+2) (n–k+1)。
當 k = n 時，P n 取 k = n!；當 k = 0 時，P n 取 k = 1。
＊名詞須知
階乘：所有小於及等於該數的正整數的積，用 n! 來表示。 例如3的階乘就是 3! = 1 x 2 x 3
💡練習1：「Selina」 一字當中，把字母重新排列，其中任兩個母音不相鄰的排法總共有幾種？
思考脈絡：想要讓母音不相鄰，可以先把子音先排好，再讓母音來插子音中間的空隙。
想在 “s”, “l”, “n” 三個子音中間排空隙，☐ s ☐ l ☐ n ☐ 總共有4個空隙可以插入。所以算式就可以列成：
3! (3個子音) Ｘ P 4取3 (4個空隙選3個排列）＝24。 （ 3 X 2 X 1）X（ 4 X 3 X 2 X 1 / 1）= 24
所以總共有24種排法。
排列組合觀念六、組合（C）
組合 (C) 是指從 n 個元素當中取出 k 個為一組的方法數，其中 0 ≤ k ≤ n。
C n 取 k = n! / k! (n-k)!。
當 k = n 或 1 時，C n 取 k = 1。
💡 練習2：Emily 入選了模範老師的選拔，最終要從8位候選人裡面選出4位得到杏壇芬芳獎，請問 Emily 一定得獎的選法共有幾種？
思考脈絡：如果Emily 一定獲獎的話，那就一定會佔掉一個得獎的名額，只要在其他7個候選人裡面選出3位一起拿獎的人即可。
所以算式可以列成：
C 7取3 = 7! / 3! (7-3)! = 35 (7 x 6 x 5 …. x 1) / (3 x 2 x 1)(4 x 3 x 2 x 1) = 35
所以總共有35種方法。
排列組合觀念七、重複排列（nr）
重複排列是指在 n 個不同的元素當中，可以重複選取，任選 r 個排成一列。記做 nᴿ
💡 練習3：有5種飲料要倒入3個不同的杯子當中，每個杯子都要裝飲料，且只能裝一種，請問總共有幾種倒法？
思考脈絡：每個杯子都有5種飲料可以倒，且總共有3個杯子。
所以是 5³ = 125
最終答案為125種倒法。
排列組合觀念八、重複組合（H n取k）
重複組合是在 n 類不同的物品，每類皆不會少於 k 個，在其中任取 k 件的組合，記做H n取k = C (n+k-1)取k
💡 練習4：鉛筆盒中有5支鉛筆，4隻原子筆，6支蠟筆，從中任取3隻，共有幾種取法？
思考脈絡：上述題目中的鉛筆、原子筆、蠟筆的數量皆大於3隻，且每一個類別要選3隻組成一組，所以是重複組合的題目。在3個不同類型的文具中，任取3隻筆組成一組，所以算式可以列成：
H 3取3 = C (3+3-1) 取3 = C 5取3 = 10 ( 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ) / (3 x 2 x 1)(2 x 1)
所以最後的答案為 10 種取法。
4大常見排列組合題目分類整理
| 重複\次序 | 有次序 | 無次序 |
|---|---|---|
| 不可重複 | 排列 P n取k | 組合 C n取k |
| 可重複 | 重複排列 nᴿ | 重複組合 H n取k |
剛開始要寫排列組合的題目時，往往都會搞不清楚到底要用哪一種解法，在這個時候就可以去思考題目中是的物品有沒有重複 或 要不要排序。之後就可以按照上表對應出的分類來快速的解題、拿分！
排列組合觀念九、巴斯卡定理
巴斯卡定理是經由數學家研究出的一個規律，數學家發現在巴斯卡三角形（可參考上方影片）相鄰兩項相加會等於其下方的數字 ，進而推導出以下公式：
C (n-1)取(m-1) + C (n-1)取m = C n取m
E.g. C 7取4 + C 7取5 = C 8取5
💡 練習5：(C 10取0)² + (C 10取1)² + (C 10取2)² + …… +(C 10取9)² + (C 10取10)² = C n取k，是問 n, k的數字各為何？
把算式展開會變成： (C 10取0)(C 10取0) + (C 10取1)(C 10取1) + ……(C 10取10)(C 10取10)
又(C 10取0)可以變成(C 10取10)，(C 10取1)可以變成(C 10取9)，以此類推後算是會變成：
(C 10取0)(C 10取10) + (C 10取1)(C 10取9) ……. + (C 10取10)(C 10取0) =C 20取10
所以最終答案 n = 20；k = 10。
排列組合觀念十、二項式定理
二項式定理即將我們之前學過的二項式展開，因為在這個時候已經會接觸到3次方、4次方等，想要一一展開會花許多的時間，因此我們可以透過在排列組合單元中學到的 C 的運用，來快速算出展開數式的係數，公式如下：
(a+b)n = (C n取0) anb0+ (C n取1) an-1b1 ……. +(C n取n) a0bn
💡 練習6：請寫出 (3x – 2y)⁴ 展開的數式
(3x – 2y)⁴ = [3x + (-2)y]⁴
= (C 4取0) (3x)⁴(-2y)⁰ + (C 4取1) (3x)³(-2y)¹ + (C 4取2) (3x)²(-2y)² + (C 4取3) (3x)¹(-2y)³ + (C 4取4) (3x)⁰(-2y)⁴
= (3x)⁴ + 4(3x)³(-2y)¹ + 6 (3x)²(-2y)² + 4 (3x)¹(-2y)³ + (-2y)⁴
= 81x⁴ – 216x³y + 216x²y² – 96xy³ + 16y⁴
經典排列組合題型解析
了解完排列組合單元中常見的觀念後，接著可以試著寫一些常見的經典考題，這樣在考試中考出來就不會覺得陌生，需要再花時間思考要用哪一種解法。
題型一、有限制位置的排列問題
在看到有限制位置的問題時我們可以注意３大原則：
- 要限制者先排位置
- 如果要求必相鄰的話，先把相鄰物綁在一起，等到最後再考慮相鄰物之間的排列如果要求不相鄰的話，則可使用插空的方式
- 如果直接計算較複雜，就可以用排除的方式 ex. 不排首 = 全部 – 排首
💡 練習7：將A, B, C, D, E 五人排成一列，試求下列的排列數：
(1) 五人任意排列
(2) E 不排在末位
(3) B 排首且 D 排末
(4) A, C 相鄰
(5) B, E 不相鄰
(1) 五人任意排列
(2) E 不排在末位
(3) B 排首且 D 排末
(4) A, C 相鄰
(5) B, E 不相鄰
(1) 任意排列的話就是 P 5取5 = 5! = 120種
(2) E 不排末 = 全部排列 – E 排末 = 5! – 1 (E在末) x 4! (其他四人任意排列) = 120 – 24 = 96種
(3) B 排首且 D 排末，即可直接將 B, D位置先排出來 → B ☐☐☐ D = 1 (B首) x 1 (D末) x 3! (其他三人任意排列) = 6種
(4) A, C 相鄰的話則可先將 A,C 綁再一起，排序完之後再考慮A,C之間的排列 = 4! (AC, B, D, E 4者排列) x 2! (A, C 排列) = 48種
(5) B, E 不相鄰，則是用插空的方法，先將 A, C, E排好，再將B, E插入空格中 → ☐ A ☐ C ☐ E ☐ = 3! (A, C, E三人排列) x P 4取2 = 6 x 12 = 72種
題型二、重複排列問題
就如同剛剛上面所述，重複排列是指在 n 個不同的元素當中，可以重複選取，任選 r 個排成一列。記做 nᴿ。簡單來說就是將可以重複的東西當作n；不可重複的當作r。
💡 練習8：把5塊不同的蛋糕，任意分給 A, B, C 3人，試求下列方法數：
(1) 任意分（蛋糕一定要分完）
(2) C 至少拿到一塊蛋糕
(1) 任意分（蛋糕一定要分完）
(2) C 至少拿到一塊蛋糕
(1) 任意分給A, B, C 三人，分法有給A, 給B, 給C 3種，所以5塊蛋糕的分法就是 3⁵ = 243種
(2) C 至少拿到一塊 = 全部 – C沒拿到 = 3⁵ – 2⁵ = 243 – 32 = 211種
💡 練習9：有甲、乙兩艘船，每艘最多只能載4個人，試求下列條件且安全搭船的方法數：
(1) 4人搭船
(2) 5人搭船
(1) 4人搭船
(2) 5人搭船
(1) 4人搭船 搭船的選項有搭甲船或搭乙船 2種，所以4人搭船的方法數就是 2⁴ = 16種
(2) 5人搭船 因為5人不能同時在同一艘船上，所以5人搭船即為任意搭船 – 5人同一艘船 = 2⁵ – 2 (甲乙兩船) = 30種
題型三、走捷徑問題
💡 練習10：請見上圖，試求下列方法數：
(1) 從A點走捷徑到B點
(2) 從A點走捷徑到B點，且一定要經過C點
(1) 從A點走捷徑到B點
(2) 從A點走捷徑到B點，且一定要經過C點
(1) 從A點走捷徑到B點 想要走捷徑就只能向右或向上，總共要向右3次，向上4次才會到達B點。 從A到B的走法總共有： (3+4)! / 3! (向右3次重複) x 4! (向上4次重複) = 35種
( 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1)(4 x 3 x 2 x 1)
(2) 從A點走捷徑到B點，且一定要經過C點 一定要經過C點的話，則是要拆成2個部分來看：A點到C點、C點到B點。 A點到C點需經過1次向右2次向上，算式為 (1+2)! / 2! B點到C點需幾過2次向右2次向上，算是為 (2+2) / 2! x 2! 所以從A點到B點的算式就是： [(1+2)! / 2!] Ｘ [(2+2) / 2! x 2!]＝18種
題型四、著色問題
想要解答著色的題型，最重要的一點就是「相鄰最多的最先塗色」，如果相鄰數相同則可任意選一個開始塗色。
💡 練習11：請見上圖，若想使用7種顏料來塗下圖中的各個區域，顏色可以重複，但相鄰區域不可同色，請問有多少種塗法？
與 A、C 相鄰的最多，所以從 A C 中任選一個開始著色
A → C → B → D = 7 x 6 x 5 x 5 = 1050種
題型五、分組分堆問題
分堆分組是在 n 件相異物當中取出 m 件的組合數為 C n取m，又可算成 (P n取m) / m!
💡 練習12：9本相異的書，依照下列的條件求出各有多少分法。
(1) 一人得4本，一人得3本，一人得2本
(2) 甲得4本，乙得3本，丙得2本
(1) 一人得4本，一人得3本，一人得2本
(2) 甲得4本，乙得3本，丙得2本
(1) C 9取4 (取出4本書) x C 5取3 (剩下的5本書中拿3本) x C 2取2 x 3! (3人排列) = 11340種
(2) 因為已經確定要給誰了，所以就不需要再平分，因此算式為： C 9取4 (取出4本書) x C 5取3 (剩下的5本書中拿3本) x C 2取2 = 1890種
題型六、重複組合問題
重複組合是在 n 類不同的物品，每類皆不會少於 k 個，在其中任取 k 件的組合，記做H n取k = C (n+k-1)取k。H的使用時機主要有3個：
- 方程式 x₁ + x₂ + x₃ …. = m 的非負整數解
- n 個人分 m 種相同物的分法
- n 種不同事物，任取 m 個的方法
💡 練習13：x + y + z = 12，試求：
(1) 非負整數解有幾組
(2) 滿足 x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 的整數解有幾組
(1) 非負整數解有幾組
(2) 滿足 x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 的整數解有幾組
(1) x + y + z = 12 的非負整數解算式為： H 3取12 = C (3+12-1)取12 = C 14取12 = 91組
(2) 需滿足 x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 的話，我們先設 x’ = x-1；y’ = y-2；z’ = z-3 因此 (x-1) + (y-2) + (z-3) = 12 – 1 – 2 – 3 = 6 → x’ + y’ + z’ = 6，其中x’ y’ z’ 皆非負整數，固算式可列成： H 3取6 = C (3+6-1)取6 = C 8取6 = 28種
💡 練習14：把10枚相同硬幣分給4個小朋友，試求下列方法數：
(1) 任意分
(2) 每人至少1枚
(1) 任意分
(2) 每人至少1枚
另4個小朋友分別為 w, x, y, z， w + x + y + z = 10
(1) 任意分的算式為 H 4取10 = C 13取10 = 286種
(2) 先給每個小朋友一枚，最後剩下的6枚再任意分給4人 → H 4取6 = C 9取6 = 84種
排列組合考前複習公式整理
| 1. 排列 (P) | P n 取 k = n! / (n-k)! |
| 2. 組合 (C) | C n 取 k = n! / k! (n-k)! |
| 3. 重複排列 | nᴿ |
| 4. 重複組合 (H) | H n取k = C (n+k-1)取k |
| 5. 巴斯卡定理 | C (n-1)取(m-1) + C (n-1)取m = C n取m |
| 6. 二項式定理 | (a+b)” = (C n取0) a”b⁰ + …. +(C n取n) a⁰b” |
結語
這篇文章幫大家整理了我們在排列組合這個單元必須要會的公式以及常見的題型，希望能夠幫助到也在努力學習數學的大家。其實排列組合這個單元最重要的就是對題目的理解，只要理解了就可以快速的解題，所以在考前要多多的練習相關的題目，這樣在考試中就可以很好的運用所學的知識，發揮自己完整的實力！如果擔心靠自己的速度無法快速熟習各項數學知識，也可以到AmazingTalker上找尋適合自己的一對一數學家教，根據你的學習需求與進度安排客製化課程，幫助你在考試中都能取得佳績。
